TI Politala Matdis 1D

FUNGSI

           A.    Pengertian

        Fungsi merupakan salah satu bentuk khusus dari relasi. Misalkan A dan B adalah dua himpunan, dimana anggota himpunan B tergantung pada anggota himpunan A. misalkan pula x adalah anggota A dan y adalah anggota B. Fungsi dari A ke B adalah aturan yang memadankan setiap anggota dalam himpunan A dengan tepat pada satu anggota dalam himpunan B. Kita dapat mendefinisikan secara formal dalam definisi berikut:

            Himpunan A disebut daerah asal atau domain dan himpunan B disebut daerah kawan atau kodomain. Himpunan bagian dari B, misalkan R, yang berisi nilai-nilai yang merupakan hasil dari pemetaan fungsi atas anggota dari daerah asal disebut daerah hasil atau range. Untuk memperjelas konsep diatas, perhatikan contoh berikut ini.:

1.      Diberikan 3 contoh relasi pada Gambar  (a), (b), dan (c), tentukan mana yang fungsi dan yang bukan fungsi.

           

Jawab: Relasi pada gambar (a) bukan merupakan fungsi, karena elemen c di daerah asal tidak dipetakan pada daerah hasil. Relasi pada gambar  (b) bukan merupakan fungsi, karena elemen c mempunyai kawan lebih dari satu di daerah hasil. Relasi pada gambar (c) merupakan fungsi, karena setiap elemen dari domain mempunyai satu kawan di daerah hasil. Pada gambar (c), domain fungsi adalah himpunan A dan kodomainnya adalah B. Karena nilai fungsi hanya 2 dan 3 saja maka daerah hasil (range) fungsi adalah R = {2, 3}.

B.     Jenis-Jenis Fungsi

            Ditinjau dari cara mengkawankannya, fungsi dapat dibedakan menjadi 3 jenis yaitu fungsi injektif, surjektif, dan bijektif. Jenis fungsi tersebut ada kaitannya dengan sifat pemetaan dari daerah asal ke daerah hasil. Ketiga jenis fungsi tersebut adalah :

1.      Fungsi Injektif

Sebuah fungsi dengan setiap anggota domain yang berbeda mempunyai peta yang berbeda disebut dengan fungsi injektif. Fungsi injektif disebut juga dengan fungsi satu satu. Secara matematis, fungsi injektif dapat didefinisikan sebagai berikut.

Gambar tersebut menunjukkan fungsi injektif karena setiap anggota domain fungsi berbeda mempunyai peta yang berbeda pula. Namun, (b) bukan merupakan fungsi injektif karena ada dua anggota domain fungsi f, yaitu –1 dan 1 yang mempunyai peta yang sama, yaitu 1.

2.      Fungsi Bijektif

Misalkan fungsi y = f(x), dengan A = {3, 4, 5} dan B = {a, b, c} dinyatakan dengan pasangan berurutan f = {(3, a), (4, b), (5, c)}. Fungsi f dapat ditunjukkan sebagai diagram panah seperti pada gambar di samping. Pada gambar tersebut tampak bahwa fungsi f adalah fungsi surjektif karena range fungsi f sama dengan kodomain fungsi f atau Rf = B. Di samping itu, fungsi f juga fungsi injektif, karena untuk setiap anggota domain yang berbeda mempunyai peta yang berbeda. Fungsi yang surjektif sekaligus injektif seperti ini disebut fungsi bijektif. Secara matematis, hal ini dapat dituliskan dalam definisi berikut.

 

Jika kita perhatikan kembali contoh di atas, setiap anggota domain dari fungsi f dipasangkan dengan tepat satu anggota himpunan kodomain, dan sebaliknya. Oleh karena itu, fungsi bijektif disebut juga dengan korespondensi satu-satu.

     Contoh : Fungsi f : Z  N (Z adalah himpunan bilangan bulat) yang didefinisikan        dengan f(x) = x2.

     Jawab : Untuk setiap bilangan bulat c, pasti mendapat pasangan dalam kodomainnya, yaitu bilangan asli c2. Akan tetapi, bilangan bulat yang berbeda, yaitu c dan –c mendapat pasangan yang sama, yaitu c2 (tidak injektif). Selain itu, terdapat pula anggota kodomain yang tidak mendapat pasangan dari domain, misalnya bilangan 5 karena 5 bukan bilangan bulat (tidak surjektif). Berarti fungsi f tersebut tidak injektif sekaligus tidak surjektif.

3.      Fungsi surjektif

Suatu fungsi dengan daerah hasil sama kodomainnya disebut dengan fungsi surjektif atau fungsi onto. Dengan kata lain, fungsi surjektif dapat didefinisikan sebagai berikut.

1.      Diketahui fungsi f dengan aturan pemetaan seperti pada gambar dibawah dan tunjukkan bahwa fungsi tersebut injektif.

Jawab : Pertama dicari dulu daerah hasil (range) fungsi tersebut yaitu {1,3,4,5} dan kodomain B = {1, 2, 3, 4, 5}. Sekarang kita selesaikan persamaan f(x) = y jika y anggota {1, 3, 4, 5} di daerah hasil. y=1 merupakan pemetaan hanya satu anggota dari daerah asal yaitu x=a. Jika y = 3 merupakan pemetaan hanya satu anggota dari daerah asal yaitu x=b. Demikian juga, jika y = 4, 5 maka merupakan pemetaan hanya satu anggota dari daera asal yaitu masing-masing c dan d. Dengan demikian, f adalah injektif (fungsi satu-satu).

2.      Diketahui fungsi f dengan aturan pemetaan seperti pada gambar dibawah dan tunjukkan bahwa fungsi itu surjektif.

Jawab : Dari gambar tampak bahwa A = (a, b, c, d, e } dan B = {1, 2, 3, 4}. Kemudian kita uji persamaan f(x)=y dengan y semua kemungkinan elemen di B. Jika y=1 maka  persamaan tersebut merupakan pemetaan f(a)= 1, f(b)=1. Kemudian untuk y=2  merupakan pemetaan dari f(c)=2. Demikian pula untuk y=3 merupakan pemetaan dari  f(d)=3 dan untuk y=4 diperoleh dari pemetaan f(e)=4. Karena untuk semua y,  persamaan selalu mempunyai jawaban, maka fungsi yang diketahui bersifat surjektif.

3.      Diketahui fungsi f dengan aturan pemetaan seperti pada gambar dibawah dan tunjukkan bahwa fungsi itu bijektif.

Jawab: Kita harus menguji bahwa persamaan y=f(x) dengan y anggota B harus mempunyai jawab dan banyaknya jawab hanya satu. Dari gambar tersebut dapat dibuat table sebagai berikut:

Karena untuk setiap y anggota B persamaan y=f(x) selalu merupakan teman pemetaan di x dan paling banyak satu, maka f adalah fungsi yang bersifat bijektif.

C.     Fungsi Invers (Balikan)

            Jika f adalah fungsi berkoresponden satu-ke-satu dari A ke B, maka kita dapat menemukan balikan (invers) dari f. Balikan fungsi dilambangkan dengan f –1. Misalkan a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B, maka f -1(b) = a jika f(a)=b. Fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu sering dinamakan juga fungsi yang invertible (dapat dibalikkan), karena kita dapat mendefinisikan fungsi balikannya. Sebuah fungsi dikatakan not invertible (tidak dapat dibalikkan) jika ia bukan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena fungsi balikannya tidak ada.      
Contoh :

f = {(1, u), (2, w), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke satu. Balikan fungsi f adalah f -1 = {(u, 1), (w, 2), (v, 3)} Jadi, f adalah fungsi invertible. Tentukan balikan fungsi f(x) = x – 1.
Jawaban 1: Fungsi f(x) = x – 1 adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, jadi balikan fungsi tersebut ada. Misalkan f(x) = y, sehingga y = x – 1, maka x = y + 1. Jadi, balikan fungsi balikannya adalah f-1(y) = y +1. Tentukan balikan fungsi f(x) = x2 + 1.
Jawaban 2: f(x) = x2 + 1 bukan fungsi yang berkoresponden satu-kesatu, sehingga fungsi balikannya tidak ada. Jadi, f(x) = x2 + 1 adalah funsgi yang not invertible.

D.    Komposisi Dua Buah Fungsi

Misalkan g adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan f adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi f dan g, dinotasikan dengan f o g, adalah fungsi   dari A ke C yang didefinisikan oleh (f o g)(a) = f(g(a))

Contoh : Diberikan fungsi f(x) = x – 1 dan g(x) = x2 + 1. Tentukan f o g dan g o f .

Jawab   : (f o g)(x) = f(g(x)) = f(x2 + 1) = x2 + 1 – 1 = x2.
                (g o f)(x) = g(f(x)) = g(x – 1) = (x –1)2 + 1 = x2 - 2x + 2

DAFTAR PUSTAKA

Bandung Arry Sanjoyo, dkk . 2008. Matematika Bisnis Dan Manajemen. Departemen Pendidikan Nasional: Jakarta.

Rosihan Ari Y, dkk. 2009. Khazanah Matematika 2 untuk Kelas XI SMA dan MA Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Wangsa Jatra Lestari :jakarta