Politala Matdis "KOMBINATORIAL"

KOBINATORIAL

     A.    Pengertian Kombinatorial

Kombinatorial adalah cabang matematika yang mempelajari pengaturan objek–objek.

Solusi yang ingin kita peroleh dari kombinatorial ini adalah jumlah cara pengaturan objek–objek     didalam kumpulannya. Kombinatorial didasarkan pada hasil yang diperoleh dari

suatu percobaan (experiment) atau kejadian (event). Percobaan adalah proses fisis

yang hasilnya dapat diamati. Contoh:

1. Melempar dadu.

2. Melempar koin uang logam.

3. Memilih 5 orang wakil dari 100 orang.

      B.     Kaidah Dasar Menghitung

a)Kaidah perkalian (rule of product)

      Percobaan 1: p hasil

      Percobaan 2: q hasil

            Percobaan 1 dan percobaan 2: p ´ q hasil

b)Kaidah perkalian (rule of product)

Percobaan 1: p hasil

Percobaan 2: q hasil

Percobaan 1 dan percobaan 2: p  q hasil

Contoh 1. Ketua angkatan IF 2002 hanya 1 orang (pria atau wanita, tidak bias gender). Jumlah pria IF2002 = 65 orang dan jumlah wanita = 15 orang. Berapa banyak cara memilih ketua angkatan?

Penyelesaian: 65 + 15 = 80 cara.

Contoh 2. Dua orang perwakilan IF2002 mendatangai Bapak Dosen untuk protes nilai ujian. Wakil yang dipilih 1 orang pria dan 1 orang wanita. Berapa banyak cara memilih 2 orang wakil tesrebut?

Penyelesaian: 65 + 15 =  975 cara.

      C.    Prinsip Inklusi-Eksklusi

Setiap byte disusun oleh 8-bit. Berapa banyak jumlah byte yang dimulai dengan ‘11’?

Penyelesaian :

Misalkan

A = himpunan byte yang dimulai dengan ‘11’

B = himpunan byte yang diakhiri dengan ‘11’

A∩B = Himpunan byte yang berawal dan berakhir dengan '11' 

maka

A∪B = himpunan byte yang berawal dengan '11' atau berakhir dengan '11'

      D.    Permutasi

Adalah jumlah urutan berbeda dari pengaturan objek – objek. Permutasi merupakan bentuk khusus aplikasi kaidah perkalian.
Misalkan jumlah objek adalah n, maka
 urutan pertama dipilih dari n objek,
 urutan kedua dipilih dari n – 1 objek,
 urutan ketiga dipilih dari n – 2 objek,
 .....
 urutan terakhir dipilih dari 1 objek yang tersisa. Menurut kaidah perkalian, permutasi dari n objek adalah n(n – 1) (n – 2) … (2)(1) = n!
Contoh 1. Berapa banyak “kata” yang terbentuk dari kata “HAPUS”?
Penyelesaian: Cara 1: (5)(4)(3)(2)(1) = 120 buah kata Cara 2: P(5, 5) = 5! = 120 buah kata
Contoh 2. Berapa banyak cara mengurutkan nama 25 orang mahasiswa?
Penyelesaian: P(25, 25) = 25!
E. Permutasi r dari n elemen
Permutasi r dari n elemen adalah jumlah kemungkinan urutan r buah elemen yang dipilih dari n buah elemen, dengan r kurang dari n, yang dalam hal ini, pada setiap kemungkinan urutan tidak ada elemen yang sama.
Contoh1. Berapakah jumlah kemungkinan membentuk 3 angka dari 5 angka berikut: 1, 2, 3, 4 , 5, jika: (a) tidak boleh ada pengulangan angka, dan
        (b) boleh ada pengulangan angka.
Penyeesaian:(a) Dengan kaidah perkalian: (5)(4)(3) = 120 buah Dengan rumus permutasi P(5, 3) =                                 5!/(5 – 3)! = 120.
                     (b) Tidak dapat diselesaikan dengan rumus permutasi. Dengan kiadah perkalian: (5)(5)                               (5) = 53 = 125.
Contoh 2. Kode buku di sebuah perpustakaan panjangnya 7 karakter, terdiri dari 4 huruf berbeda dan diikuti dengan 3 angka yang berbeda pula?
Penyelesaian: P(26, 4) x P(10,3) = 258.336.000
F. Kombinasi Dengan Pengulangan
Misalkan terdapat r buah bola yang semua warnanya sama dan n buah kotak. Masing-masing kotak hanya boleh diisi paling banyak satu buah bola. Jumlah cara memasukkan bola C(n, r).
Jika masing-masing kotak boleh lebih dari satu buah bola (tidak ada pembatasan jumlah bola), maka Jumlah cara memasukkan bola, yaitu : C(n + r – 1, r) = C(n + r –1, n – 1).
Contoh 1. 20 buah apel dan 15 buah jeruk dibagikan kepada 5 orang anak, tiap anak boleh mendapat lebih dari 1 buah apel atau jeruk, atau tidak sama sekali. Berapa jumlah cara pembagian yang dapat dilakukan? Jawab : n = 5, r1 = 20 (apel) dan r2 = 15 (jeruk) Membagi 20 apel kepada 5 anak: C(5 + 20 – 1, 20) cara, Membagi 15 jeruk kepada 5 anak: C(5 + 15 – 1, 15) cara. Jumlah cara pembagian kedua buah itu adalah C(5 + 20 – 1, 20)  C(5 + 15 – 1, 15) = C(24, 20)  C(19, 15).



















REFERENSI: http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/KHUSNUL_NO VIANIGSIH/KOMBINATORIAL.pdf 
                       http://stwn.blog.unsoed.ac.id/files/2013/01/matdis-2012-p07.pdf